الرياضيات عند العرب قديما

الرياضيات قديماً (عند العرب)


استخرج رياضيو العرب والمسلمين المجاهيل العددية عن طريق التحليل بطريقتينأخرييْن قلما يعرفهما شخص في العصر الحديث سوى المتخصصين في الرياضيات. وهاتانالطريقتان هماحساب الخطأين، والتحليلوالتعاكس. وكانت لهم مؤلفات في ذلك منهاكتابالخطأينلأبي كامل الحاسب المصري وكتابحساب الخطأينليعقوب بن محمد الرازي وغيرهما. وكانت هاتان الطريقتان شائعتين عند العرب، وأكثراستخدامًا من غيرهما. وإليك هذين المثالين: الأول يوضح طريقة الحساب والخطأ ،والثاني يوضح طريقة الوصول إلى المجهول بطريقة التحليل والتعاكس.
1 ) أوجد العدد الذي إذا أضيف إليه ثلثاه وثلاثة كان الناتج 18.
الخطوة الأولى: افرض المجهول ما شئت وسمه المفروض الأول، ثم تصرف فيه بحسبالسؤال، فإن كان مطابقًا فهو المطلوب، وإن لم يكن كذلك فإن الخطأ بالزيادة أوالنقصان فهو الخطأ الأول.
الخطوة الثانية: افرض مجهولاً آخر وسمه المفروض الثاني، فإن أخطأ حصل الخطأالثاني.
الخطوة الثالثة: اضرب المفروض الأول في الخطأ الثاني، وسمه المحفوظالأول.
الخطوة الرابعة: اضرب المفروض الثاني في الخطأ الأول، وسمه المحفوظالثاني.
الخطوة الخامسة: إذا كان الخطآن من زائدين أو ناقصين فاقسم الفرق بينالمحفوظين على الفرق بين الخطأين، وإن اختلفا فمجموع المحفوظين على مجموع الخطأينلتحصل على المجهول.

لحل المسألة خذ المفروض الأول: 3 0 إذا تصرفنا فيه بحسب السؤاليكون:
3 + 3 × 2/3 + 3 = 3 + 2 + 3 = 8… …. …. يكون الخطأ الأول 18 - 8 = 10 ناقص
خذ المفروض الثاني: 6 0 إذا تصرفنا فيه بحسب السؤال يكون:
6 + 6× 2/3 + 3 = 13… … … يكون الخطأ الثاني 18 - 13 = 5 ناقص
إذن يكون المحفوظ الأول = 3 × 5 = 15 ويكون المحفوظ الثاني = 6 ×10 = 60
الفرق بين 60 و 15 = 45 والفرق بين الخطأين هو 10 - 5 = 5
………………………………. الجواب 45/5 = 9
أما استخراج المجاهيل بطريقة التحليل والتعاكس فتستـند على العمل بعكس ماأعطاه السـائل فإن ضعّف فنصِّـف، وإن زاد فانقــص، وإن ضرب فاقسـم أو جذّر فربّع أوعكس فاعكس مبتدئًا من آخر السؤال. وقد وردت هذه المسألة في كتاب بهاء الدينالعاملي: ¸عدد ضرب في نفسه وزيد على الحاصل اثنان وضعــف وزيد على الحاصل ثلاثةدراهم وقسم المجتمع (المجموع) على خمسة وضرب الخارج في عشرة حصل خمسون·. ( فما هو العدد ؟ )
نبدأ بآخر السؤال فنقسم 50 - 10 ثم نضرب 5 في مثلها؛ أي 5 × 5 = 25 وننقص من25العدد 3 فيكون الباقي 22 ومن نصف هذا العدد ننقص 2؛ أي 11 - 2 = 9 فالجواب يكونالجذر التربيعي لـ 9 أي 3.
إسهامات العرب في الرياضيات
أولا : في مجال الحساب :
يعتبر علماء العرب أول من طور العمليات الحسابية الأربع ، الجمع والتضعيف ، التنصيف ، التفريق ، الضرب والقسمة ، كما أن لهم الفضل في عمليات استخراج الجذور . وقد قاموا بتقسيم الأعداد إلى ثلاثة أنواع هي :
1- أعداد تامة : وهي التي قننها أبو البنا المراكشي بقوله أن العدد التام هو العدد الذي يساوي مجموع أجزاءه (قواسمه) . العدد 6 عدد تام لأن 6 = 1 + 2 + 3
2- أعداد زائدة : العدد الزائد هو ما يكون أقل من مجموع أجزائه (قواسمه) .
العدد 12 عدد زائد لأن 12 < 1+2+3+4+6 </SPAN>
3- العدد الناقص : وهو العدد الذي يكون أكبر من مجموع أجزائه .
مثل العدد 10 > 1+2+5
كما أوجد ثابت بن قرة قاعدة للأعداد المتحابة وهي أن يكون مجموع قواسم أ حد العددين مساويا للآخر فمثلا :
(220 ،284) عددان متحابان لأن :
مجموع قواسم 220 : 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284
مجموع قواسم 284 : 1+2+4+71+142 =220
كما قام الكاشي بوضع الكسور العشرية في كتاب الرسالة المحيطية ولأول مرة بالتاريخ ، حيث عبر عن: 2ط = 6.283185.7179865
ثانيا : في مجال الجبر:
أول كتاب عرف في الجبر هو كتاب الخوارزمي : الجبر والمقابلة ، والذي صنف به المعادلات كما في الشكل المقابل .
وقد ذكر الخوارزمي بأن الجبر يقوم على ثلاث ضروب هي : جذور وأموال وعدد .
المال يقابل س2 ، والجذر أسماه شيئا ، وميز العدد بالشيء والمال بتسميته دراهم ، حيث قال مال وجذر يعادل درهمين .
وعند جبر المعادلة يقوم بإزالة الحدود السالبة ، وعند المقابلة يقوم بحذف الحدود المتشابهة من الطرفين .
كما توصل العرب إلى حل معادلات من قوى أعلى على الصورة :
م س2ن + ب س ن = جـ
وقد قدم العرب حلولا لمعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة واكتشفو النظرية التي تقول :
مجموع مكعبين لايكون عددا مكعبا ، وهذه هي أساس نظرية فيرما الشهيرة :
أ ن + ب ن = جـ ن التي لايمكن حلها عند ن>2
ثالثا : في مجال الهندسة وحساب المثلثات :
لقد ترجم العرب كتاب أصول اقليدس ، وزادوا عليه ، حيث قدم ابن الهيثم نظريات ومسائل منها "كيف ترسم مستقيمين من نقطتين مفروضتين داخل دائرة معلومة إلى أي نقطة مفروضة على محيطها بحيث يصنعان مع المماس المرسوم من تلك النقطة زاويتين متساويتين " .
كما قدم البيروني برهانا لمساحة المثلث بدلالة أضلاعه .كما أن الغرب عرفوا هندسة إقليدس عن طريق العرب .
ومن مآثر العرب في حساب المثلثات هو استخدامهم النسب المثلثية الست حيث كشف البتانيالعلاقة:
جتاأ =جتاب جتاجـ + جاب جاجـ جتاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي المائل حيث أن أ ، ب ، جـ تمثل أضلاع المثلث ، أ زاوية أ بالمثلث.
واكتشف جابر بن الأفلح العلاقة : جتاب = جتاب جاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي القائم الزاوية في جـ .
كما اكتشف التباني قانون إيجاد ارتفاع الشمس :
س = أجا (90 - أ) \ جاأ
وقد اكتشف العرب العلاقات بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرهما ، ومعرفة القاعدة الأساسية لمساحة المثلثات الكروية وعملوا الجداول الرياضية للمماس والقاطع وقاطع التمام .
وقد حل القباني المعادلة جاس\جتاس =1 ، حيث توصل إلى أن :
جاس = س \ (جذر س2 + 1) .
وتوصل ابن يونس إلى القانون :
جتاس جتاص =1\2 جتا(س+ص) + 1\2 جتا(س - ص) .
من عجائب الأرقام

عجائب الرقم ( 5 )
8 × 5 = 40
88 × 5 = 440
888 × 5 = 4440
8888 × 5 = 44440
88888 × 5 = 444440
888888 × 5 = 4444440
8888888 × 5 = 44444440
88888888 × 5 = 444444440
888888888 × 5 = 4444444440
8888888888 × 5 = 44444444440
عجائب الرقم ( 9 ) عجائب الرقم ( 7 )

9 × 345679 × 1 = 111111111 1×7×158=111111
9 × 345679 × 2 = 2222222222×7×158=222222
9 × 345679 × 3 = 333333333 3×7×158=333333
9 × 345679 × 4 = 4444444444×7×158=444444
9 × 345679 × 5 = 555555555 5×7×158=555555
9 × 345679 × 6 = 666666666 6×7×158=666666
9 × 345679 × 7 = 777777777 7×7×158=777777
9 × 345679 × 8 = 888888888 8×7×158=888888
9 × 345679 × 9 = 9999999999×7×158=999999
عجائب الرقم (8 )

1×8+1=9
12×8+2=98
123×8+3=987
1234×8+4=9876
12345×8+5=98765
123456×8+6=987654
1234567×8+7=9876543
12345678×8+8=98765432
123456789×9+9=987654321

من عجائب الرقم 9 أيضاً

987654321 × 9 = 8888888889
98765432 × 9 = 888888888
9876543 × 9 = 88888887
987654 × 9 = 8888886
98765 × 9 = 888885
9876 × 9 = 88884
987 × 9 = 8883
98 × 9 = 882
9 × 9 = 81